Формула Герона

Формула для вычисления площади треугольника $S$ по длинам его сторон $a,b,c$ $S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$ где $�$ — полупериметр.

$S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }$ ,
где $\ \gamma$ — угол треугольника, противолежащий стороне $�$ . По теореме косинусов:
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,$

Отсюда:
$\cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},$

Значит,
$\ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=$ $={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=$ $={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$